Интерпретация основных идей Декарта, связанных с математическим языком по В.Ф. Турчину
«… говоря о Декарте как о математике, обычно указывают, что он «усовершенствовал алгебраические обозначения и создал аналитическую геометрию». Иногда к этому добавляют, что примерно в то же самое время основные положения аналитической геометрии были выдвинуты независимо от Декарта его соотечественником Пьером Ферма (1601-1665), а что касается алгебраической символики, то её уже вовсю использовал Виет. Выходит, что в области математики Декарту особенно похвастаться нечем, и, действительно, далеко не все авторы, пишущие об истории математики, отдают ему должное.
Между тем Декарт произвёл революцию в математике, он создал нечто несравненно большее, чем аналитическая геометрия (понимаемая как теория кривых на плоскости), а именно: новый подход к описанию явлений действительности - современный математический язык.
Иногда говорят, что Декарт «свёл геометрию к алгебре», понимая под алгеброй, конечно, алгебру числовую, арифметическую. Это грубая ошибка. Верно, что Декарт преодолел пропасть между величиной и числом, между геометрией и арифметикой, но достиг он этого не сведением одного языка к другому, а созданием нового языка - языка алгебры. По синтаксису новый язык совпадает с арифметической алгеброй, но по семантике - с геометрической. Символы в языке Декарта обозначают не числа и не величины, а отношения величин. В этом - вся суть переворота, произведённого Декартом.
Современный читатель, пожалуй, недоуменно пожмёт плечами: какая разница? Неужели этот логический нюанс мог иметь серьезное значение? Оказывается, мог. Именно этот нюанс помешал грекам сделать следующий шаг в своей математике. […]
Тот факт, что греки не создали алгебры, имеет глубокие корни и в философии. У них не было даже арифметической алгебры - это первое и наиболее внешнее, можно даже сказать побочное, следствие их философии. Их мало интересовали арифметические уравнения, ведь уже уравнения второй степени не имеют, вообще говоря, точных числовых решений. А приближённые вычисления и всё, что было связано с практическими задачами, их не интересовало. Зато решение могло быть найдено путем геометрического построения! Но, если даже предположить, что греческие математики школы Платона познакомились бы с арифметической буквенной символикой, трудно представить, чтобы они воспроизвели научный подвиг Декарта. Ведь отношение не было для них идеей и не имело, следовательно, реального существования. Кому же придёт в голову обозначать буквой то, чего нет?
Платоновская идея - это обобщенный образ, форма, свойство: то, что можно представить в воображении как более или менее обобщённый предмет. Всё это является первичным и имеет независимое существование, причем существование даже более реальное, чем чувственно воспринимаемые вещи. А что такое отношение отрезков? Попробуйте его представить, и вы сразу увидите, что представляете себе никакое не отношение, а просто два отрезка. Понятие отношения величин отражает процесс измерения одной из них с помощью другой. Но процесс - это не идея в платоновском понимании, это нечто вторичное и не существующее реально: идеи вечны и неизменны и хотя бы уже поэтому не имеют ничего общего с процессами.
Интересно, что понятие отношения величин, отражающее свойства процесса измерения, было в строгой математической форме введено ещё Евдоксом и вошло в пятую книгу «Начал» Евклида. Именно это понятие и было использовано Декартом. Однако объектом отношение не было ни у Евдокса, ни у последующих греческих математиков; будучи едва введено, оно немедленно уступило место пропорции, которую легко представить как свойство четырех отрезков, образуемых при пересечении сторон угла двумя параллельными линиями.
Понятие отношения величин - это языковый конструкт, и довольно сложный, а платонизм мешал вводить в математику конструкты, ограничивал её базисные понятия чётко представимыми статическими пространственными образами. В школе Платона даже дроби считались чем-то незаконным с точки зрения настоящей математики. В «Государстве» мы читаем: «Если ты захочешь делить единицу, то ученые математики высмеют тебя и не позволят это сделать; если же ты размениваешь единицу на мелкие деньги, они полагают её обращенной во множество и остерегаются рассматривать единицу не как единое, но состоящее из многих частей». При таком отношении к рациональному числу, что уж говорить об иррациональном!
Кратко подвести итог влиянию платоновского идеализма на греческую математику можно следующим образом. Осознав математические утверждения как объект работы, греки совершили метасистемный переход огромной важности, но они тут же объективизировали базисные элементы математических утверждений, стали рассматривать их как часть неязыковой действительности - «мира идей». Тем самым они закрыли себе путь к дальнейшей эскалации критического мышления - осознанию базисных элементов (понятий) математики как явлений языка и созданию все более и более сложных математических конструктов. Развитие математики в Европе было непрерывным освобождением от оков платонизма. […]
Семантика алгебраического языка Декарта много сложнее семантики арифметического и геометрического языков, опирающихся на наглядные образцы. Использование такого языка изменяет взгляд на отношение между языком и действительностью. Обнаруживается, что буквы математического языка могут обозначать не только числа и фигуры, но и нечто гораздо более абстрактное (точнее, конструктное). Отсюда берёт начало изобретение новых математических языков и диалектов, введение новых конструктов. Прецедент был создан Декартом. Фактически Декарт заложил основу описания явлений действительности с помощью формализованных символьных языков.
Непосредственное значение реформы Декарта заключалось в том, что она развязала руки математикам для создания в абстрактной символьной форме исчисления бесконечно малых, основные идеи которого в геометрической форме были известны ещё древним. Если к дате выхода в свет «Геометрии» мы прибавим полвека, то очутимся в эпохе Лейбница и Ньютона, а ещё через полвека - в эпохе Эйлера».
Турчин В.Ф., Феномен науки: Кибернетический подход к эволюции, М., «ЭТС», 2000 г., с. 265, 267-268 и 273.