Нелинейные модели по Фритьофу Капре
«Итак, к концу XIX века учёные разработали два различных математических инструмента для моделирования естественных явлений - точный (детерминистские уравнения движения для простых систем) и уравнения термодинамики, основанные на статистическом анализе усредненных величин для сложных систем.
И хотя эти два подхода совершенно различны, есть у них и общая черта: они используют линейные уравнения.
Ньютоновы уравнения движения носят весьма общий характер и применимы как для линейных, так и для нелинейных явлений; в действительности же нелинейные уравнения получаются гораздо чаще, можно сказать на каждом шагу. Однако, поскольку они обычно слишком сложны для решения и связаны с хаотической, на первый взгляд, природой соответствующих физических явлений - например, с турбулентными потоками воды и воздуха, - учёные, как правило, избегают изучения нелинейных систем.
Поэтому, как только нелинейные уравнения появлялись, их тут же «линеаризовали», т.е. заменяли линейными приближениями. В результате, вместо того чтобы описывать явления во всей их сложности, уравнения классической науки имели дело с малыми колебаниями, неглубокими волнами, небольшими изменениями температуры и т.д. Как заметил Ян Стюарт, эта привычка укоренилась настолько, что многие уравнения линеаризировались уже в ходе составления, поэтому в учебники даже не включались полные нелинейные версии. И даже у большинства учёных и инженеров сложилось убеждение, что фактически все природные явления можно описать с помощью линейных уравнений.
«Как мир был подобен заводным часам и XVIII столетии, так он стал линейным и XIX и большей части XX столетия». Решительная перемена за последние три десятилетия выразилась в осознании того, что Природа, по выражению Стюарта, «безжалостно нелинейна».
Нелинейные процессы преобладают в неодушевлённом мире в гораздо более значительной степени, чем мы предполагали. Они также являются существенным аспектом сетевых паттернов живых систем. Теория динамических систем - первая математическая система, позволяющая учёным работать со всем диапазоном сложности этих нелинейных феноменов. Исследования нелинейных систем за последние десятилетия оказали значительное влияние на науку в целом, поскольку заставили нас заново оценить некоторые фундаментальные представления о взаимоотношениях между математической моделью и теми феноменами, которые она описывает. Одно из таких представлений касается нашего понимания простоты и сложности. Пребывая в мире линейных уравнений, мы думали, что системы, описываемые простыми уравнениями, отличаются простым поведением, в то время как описываемые сложными уравнениями ведут себя гораздо сложнее. В нелинейном мире - который, как мы начинаем обнаруживать, составляет львиную долю реального мира - простые детерминистские уравнения могут таить в себе неожиданное богатство и разнообразие поведения.
С другой стороны, сложное и кажущееся хаотичным поведение может породить упорядоченные структуры, тонкие и изящные паттерны. В теории хаоса сам термин хаос приобрел новое, техническое значение. Поведение хаотических систем не просто беспорядочно: оно проявляет более глубокий уровень паттернового порядка. Как мы увидим ниже, новый математический аппарат позволяет рассмотреть эти глубинные паттерны в явных и отчетливых формах. Ещё одно важное свойство нелинейных уравнений, которое всегда смущало учёных, заключается в том, что точное предсказание часто бывает неосуществимо, даже если уравнения строго детерминированы. Эта поразительная особенность нелинейности обусловила важный сдвиг акцента от количественного анализа к качественному».
Фритьоф Капра, Паутина жизни. Новое научное понимание живых систем, М., «София», 2003 г., с. 140-142.