Математика
Математические открытия; а также математические идеи, используемые в других областях деятельности
Построение научных теорийПостроение научных концепций. теорий, моделей
X
Основания воображаемой геометрии по Н.И. Лобачевскому
В конце жизни Н.И. Лобачевский надиктовал «Пангеометрию», где рассказал о результатах, полученных им ранее…
«Понятия, на которых основывают начала геометрии, недостаточны, чтоб отсюда вывести доказательство теоремы: сумма трёх углов прямолинейного треугольника равна двум прямым; теорема, в справедливости которой никто до сих пор не сомневался, потому что не встречают никакого противоречия в заключениях, которые отсюда выводятся, и потому что измерение углов в прямолинейных треугольниках согласуется в пределах ошибок самых точных измерений с этой теоремой. Недостаточность начальных понятий для доказательства приведённой теоремы принудила геометров допускать прямо или косвенно вспомогательные положения, которые как ни просты кажутся, тем не менее произвольны и следовательно допущены быть не могут.
Так, например, принимают: что круг с бесконечно великим полупоперечником переходит в прямую линию, а сфера с бесконечно великим полупоперечником - в плоскость; что углы прямолинейного треугольника зависят только от содержания (отношения) боков, но не от самых боков, или наконец, как это обыкновенно принимают в началах геометрии, что из данной точки в плоскости не можно провести более одной прямой параллельной с данной прямою в той же плоскости, тогда как все другие прямые, проведенные из той же точки и в той же плоскости, должны необходимо по достаточном продолжении пересекать данную прямую. Под линиею параллельной другой разумеют прямую линию, которая сколько бы не продолжалась в обе стороны, никогда не встречает ту, с которой она параллельна. Это определение само по себе недостаточно, потому что оно не указывает на единственную линию.
То же можно сказать о большей части определений, даваемых в началах геометрии, потому что эти определения не только не указывают на происхождение геометрической величины, которую хотят определить, но даже не доказывают, что такие величины существовать могут. [...]
Вместо того, чтобы начинать геометрию прямой линиею и плоскостью, как это делают обыкновенно, я предпочёл начать сферой и кругом, которых определение не подлежит упрёку в неполноте, потому что в этих определениях заключается способ каким образом эти величины происходят. Потом я определяю плоскость, как поверхность, где пересекаются равные сферы, описанные около двух постоянных точек. Наконец определяю прямую линию, как пересечение равных кругов в плоскости, описанных около двух постоянных точек той же плоскости. Допустив такие определения, вся теория прямых и плоскостей перпендикулярных может быть изложена строго с лёгкостью и краткостью.
Прямую, проведённую из данной точки в плоскости, я называю параллельною к данной прямой в той же плоскости, как скоро она составляет границу между теми прямыми, проведёнными из той же точки в той же плоскости, которые пересекают данную прямую по достаточному продолжению, и тех, которые не пересекают, сколько бы ни продолжались. Ту сторону, в которой пересечение происходит, я называю стороною параллельности. […]
В этом сочинении я изложил доказательства всех предложений, в которых не нужно прибегать к помощи параллельных линий. Между этими предложениями то, которое даёт отношение поверхности сферического треугольника ко всей сфере, особенно достойно замечания. […] Потом я доказываю, что сумма трёх углов в прямолинейном треугольнике не может быть более двух прямых углов, и если эта сумма равна двум прямым углам в каком-нибудь прямолинейном треугольнике, то она должна быть такова во всех прямолинейных треугольниках.
Итак, два только предположения возможны: или сумма трёх углов во всяком прямолинейном треугольнике равна двум прямым углам - это предположение составляет обыкновенную геометрию - или во всяком прямолинейном треугольнике эта сумма менее двух прямых, и это последнее предположение служит основанием особой геометрии, которой я дал название воображаемой геометрии, но которую может быть приличнее назвать Пангеометрией, потому что это название означает геометрию в обширном виде, где обыкновенная геометрия будет частный случай»
Лобачевский Н.И., Пангеометрия / Полное собрание сочинений в 4-х томах, Том 3, М.-Л., «Государственное издательство технико-теоретической литературы», 1951 г., с. 435-437.