Выявленные приёмы, инварианты, эвристики, статагеммы решения творческих задач…
МатематикаМатематические открытия; а также математические идеи, используемые в других областях деятельности
X
Евдокс, построил так называемую «общую теорию отношений», основанную на новом определении величин…
До него, ещё в школе Пифагора установили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной (то есть, равняется иррациональному числу √ 2). Это опровергало главный тезис их учения: «Всё есть число!».
Поэтому в дополнение к рациональным числам Евдокс ввёл более широкое понятие «геометрической величины» - то есть длины отрезка, площади или объёма. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин - например, исследуемой и единичного эталона.
Или, более строго математически:
«Если х есть общая мера двух величин A и B и если А = тх, В = nх, то говорят, что отношение величины A к величине В есть (дробь). Однако открытие иррациональностей сделало такое определение невозможным, ибо греки не могли сомневаться, например, в том, что диагональ квадрата находится в определённом отношении к его стороне, хотя это отношение и не может быть выражено никакой дробью.
И вот Евдокс вышел из трудности, определяя «отношение» через «пропорцию», то есть, через равенство «отношений».
В самом деле, для равенства двух «отношений» A : В и С : D соизмеримых друг с другом величин необходимо и достаточно, чтобы для всякой пары чисел т, n:
1) если тА > nВ, то одновременно и mC > nD;
2) если тА < nВ, то и mC < nD; наконец,
3) если бы оказалось, что тА = nВ, то и mC = nD.
Однако этот критерий пропорциональности величин («равенства отношений» A : В и С : D) не предполагает обязательно существования общей меры, то есть наличия такой пары чисел т n, для которой имеет место именно третий случай - случай равенства: тА = nВ. Поэтому он может быть распространён и на случай несоизмеримых величин. Но теперь пропорциональность двух пар величин (А, В) и (С, D) можно определить с помощью этого критерия, иными словами, определить «равенство отношений», не опираясь при этом на понятие «отношения».
Яновская С. А., Методологические проблемы науки, М., «КомКнига», 2006 г., с.49-51.
